Om chancerne for at vinde progressive jackpots når du spiller spilleautomater

Om chancerne for at vinde progressive jackpots
Catalin Barboianu

Spillemaskiner online kom til at være de mest populære casino spil i vore dage. Der er flere elementer, der bidrager til deres popularitet, såsom attraktivt fysisk design, korthed, privatliv, mange forskellige præmier og relativt høje udbetalingsrater for toppræmierne. Spilleautomater bevarede deres popularitet på trods af en funktion, der – i det mindste for eksperterne, der studerer dem – gør spilleautomater til casino spillenes “sorte får”, nemlig manglen på information om deres konfiguration, som normalt holdes hemmeligt af spilleautomatproducenter.

Spilleautomater udviklede sig kontinuerligt med fremkomsten af teknologien, og en ny funktion, der blev tilføjet i 1980’erne, var afgørende for at styrke deres forspring i casinospils popularitetstoppen – den progressive jackpot. Denne funktion tilføjet til grundpræmieplanen for spillene gjorde de progressive jackpot-spillemaskiner meget eftertragtede af spillere, da størrelsen af de nye præmier, der tilbydes, ikke opfyldes i andre casinospil (men kun i lotteri).

Spilleautomater er også anerkendt af problem gambling eksperter som de mest vanedannende casinospil. At jagte gevinster på spilleautomater og især progressive jackpots kan blive en risikofaktor for at udvikle en problematisk spilleadfærd, hvis man ikke underkaster sig normerne for ansvarligt spil, og dette inkluderer at blive informeret om hvordan slots fungerer og de matematiske fakta om spilleautomater.

I denne artikel vil vi se i detaljer, hvad de progressive jackpots spilleautomater er, hvordan de fungerer, hvad er den grundlæggende matematik bag dem, og hvad vi skal vide om chancerne for at vinde progressive jackpots på spilleautomater, for at kunne spille informeret og sikkert .

Faste og progressive jackpots

En progressiv jackpot ved et bestemt hasardspil er en slags præmie, der akkumuleres over tid, efterhånden som folk deltager i eller spiller det spil. Den progressive jackpot akkumuleres og øges med hvert nyt spil og udgives som én enkelt præmie til vinderen i henhold til de gældende regler for det pågældende spil og casino. Den progressive jackpot tildeles ved tilfældigt valg til én spiller i henhold til casinoets regler. I de fleste af de progressive systemer er der berettigelseskrav for, at en spiller kan tildeles den progressive jackpot – normalt er de forpligtet til at ramme toppræmien i spillet (også kaldet fast eller almindelig jackpot) eller i nogle tilfælde ethvert vinderudfald ; de fleste af systemerne kræver, at spillerne placerer væddemål af en vis størrelse for at være berettiget.

En progressiv jackpot er en slags sidevæddemål, der tilbydes til de berettigede spillere i spillet ud over basispræmieplanen for det pågældende spil. I dag har vi progressive jackpots i næsten alle casinospil, inklusive blackjack, baccarat, roulette, videopoker, keno og selvfølgelig spilleautomater. Før de progressive præmier blev introduceret i casinoer, var vi vant til at se en slags progressiv jackpot i lotteri (hvis en lodtrækning ikke har nogen vinder til toppræmien, føjes præmiefonden, der er allokeret til den præmiekategori, til fondspræmien for den næste trækning , og så videre, indtil en spiller rammer jackpotten; også den stigende pulje for hver hånd, der spilles i poker, er en slags progressiv jackpot.

I betragtning af at udtrykket ‘jackpot’ bruges i gambling-jargon for både toppræmien i et spil og for progressive jackpots, er vi nødt til at skelne mellem de to begreber: Toppræmien på en spilleautomat er præmien for den højeste udbetaling , med en fast udbetalingssats (f.eks. 1.000 til 1), der kun gælder for vinderens indsats. Det er normalt defineret som forbundet med en kombination med det samme høje præmiesymbol på alle maskinens hjul (på en betalingslinje). Den progressive jackpot er ikke fast og indsamles kontinuerligt, indtil den frigives, fra indsatser fra alle spillere på den pågældende maskine eller af alle maskinerne i netværket.

I denne artikel diskuterer vi de matematiske og tekniske aspekter af de progressive jackpots i slots; spilleautomaterne, der har en progressiv jackpot forbundet, kaldes normalt progressive spilleautomater.

Kategorier af progressive slots

Der er tre hovedkategorier af progressive slots, afhængigt af hvor mange slots-enheder, der deltager i jackpotten og deres rumlige forskydning.

  • Standalone progressive. Disse er individuelle spilleautomater, der kun samler penge til den progressive jackpot fra deres egne indsatser. Det aktuelle progressive jackpotbeløb vises på spillemaskine med en jackpotmåler (eller tykkere). Disse var de første progressive i casinoer i slotshistorien, men de er også med succes til stede i dag og producerer jackpots på over $10.000.
  • Lokale progressive. I disse slots indsamles den progressive jackpot-fond fra flere spilleautomater i et casino. De er forbundet i et lokalt netværk med 10 op til 100 maskiner. Hver spiller på en hvilken som helst spillemaskine i netværket deltager i jackpot-fonden, og alle kvalificerede kan vinde den, uanset hvilken spillemaskine de spiller på. Jackpotmåleren vises på spillemaskiner og et andet sted i casinoet. Det er ikke ualmindeligt, at de lokale progressive udgiver jackpots over en million dollars.
  • Progressivt brednetværk. Disse er progressive, der er forbundet i et netværk på tværs af flere casinoer, online eller fysiske, der arbejder forskellige steder, muligvis over hele kloden. Internetteknologi muliggjorde dette netværk, hvor den progressive jackpot strømmer fra indsatsen på et stort antal spillemaskiner og kan akkumulere til millioner. Jackpotten uddeles til én enkelt vinder, som kan være i en hvilken som helst region i verden.

Karakteristika ved et progressivt jackpot-system i spilleautomater

Hvert progressivt jackpot-system har sine egne karakteristika og regler.

En funktion, som alle systemer har til fælles, er en startværdi: jackpotten begynder at akkumulere med det første væddemål placeret på en maskine (individuelt eller i netværket), efter at den forrige jackpot er blevet frigivet (så beløbet nulstilles), men den vil først være tilgængelig for en ny udgivelse, når jackpotbeløbet når en vis tærskel, kaldet seed.

Det kontinuerlige bidrag til jackpotfonden kan enten være ved væddemål eller ved gevinst. Førstnævnte får måleren til at stige for hvert nyt spin, mens førstnævnte med hver ny gevinst, som en procentdel af disse beløb, der sendes til jackpotfonden.

Der er to typer systemer med hensyn til udgivelsen af jackpotten: must-hit-by og ubegrænset.

Den must-hit-by jackpot (også kaldet mystery jackpot) har en maksimal værdi tilknyttet og kan frigives når som helst mellem frøet og den maksimale værdi. Frigivelsespunktet bestemmes tilfældigt efter hver nulstilling af måleren, og vinderen vil være den spiller, hvis bidrag til jackpotfonden gør, at frigivelsesværdien nås eller overskrides. Selvom frigivelsespunktet er baseret på tilfældig generering, er valgets basis normalt ikke ensartet fordelt over meterintervallet – nogle systemer kan bestemme, at jackpotten skal rammes over anden halvdel af intervallet, nogle over et smallere interval, tæt på den maksimale værdi.

For eksempel er AGS must-hit-by jackpots programmeret til at ramme nær det maksimale værdipunkt. En statistisk analyse af en version af River Dragons, hvor den progressive jackpot starter ved $4.000 og skal rammes med $5.000, fandt det gennemsnitlige point, den rammer ved $4.945.

Det ubegrænsede progressive system har ikke en øvre grænse for jackpotten, og den kan vindes når som helst efter seed er passeret, hvis berettigelseskravene er opfyldt. Det er grunden til, at måleren på sådanne systemer kan nå op på mængder i størrelsesordenen millioner og titusinder af millioner, for de progressive netværk af store områder.

I modsætning til must-hit-by-systemet kan det tilfældige valg af det øjeblik, hvor jackpotten rammer, være baseret på flere variabler. For eksempel kan systemet være programmeret til at frigive jackpotten i en bestemt tidsramme på dagen, tilfældigt valgt. Den første spiller, der rammer en almindelig jackpot eller anden påkrævet præmie inden for den tidsramme, vinder den progressive jackpot. En anden mulighed er at vælge en spilleautomat tilfældigt over en vis tidsramme og vente på, at en spiller rammer jackpotten på den maskine. Andre kan involvere værdien eller egenskaberne for målermængden, der er forbundet med tidsramme, og så videre. Hvis matchningsbetingelserne til sidst ikke er opfyldt, genstarter systemet sit tilfældige valg for et fremtidigt hit, mens måleren stiger. Algoritmen bag processen med at vinde jackpot er naturligvis specifik for hvert system og er ikke tilgængelig information. Det er hemmeligt, ligesom den parametriske konfiguration af hver spillemaskine.

Det tilfældige valg af betingelser, der udløser jackpotfrigivelsen og bestemmer vinderen, for begge typer progressive jackpotsystemer, foretages ved hjælp af en tilfældig talgenerator (RNG), der er indbygget i systemets software.

Udover frøet og den maksimale værdi (for de progressive, der skal rammes), og parametrene for algoritmen for tilfældig generering, er der en anden parameter forbundet med systemet, nemlig hastigheden af målerens stigning. Dette er en vis procentdel af indsatserne eller gevinsterne, der er rettet mod jackpotten, for at den kan akkumulere som vist i måleren. Satsen for målerstigningen er specifik for hvert system, og en fælles værdi for den er 2 % eller omkring, men der er også systemer med en hastighed på 1 % eller under denne værdi.

Med hensyn til berettigelse kræver de fleste af systemerne, at en spiller rammer den almindelige jackpot for at være berettiget til den progressive jackpot. Andre kræver enhver præmie for at blive ramt, mens andre (sjældent) ikke har et sådant krav, og enhver spiller kan vinde jackpotten, uanset om de taber eller vinder ved det spin. Normalt er der et krav til indsatsstørrelse (kun spillere, der spillede med den maksimale kredit eller pålydende værdi, er berettigede), som kan kombineres med præmiekravet.

Uanset hvilken type progressivt (standalone, lokalt eller wide-are netværk) er disse de grundlæggende egenskaber ved deres jackpotsystem.

En vigtig komponent i systemet er RNG, som bestemmer jackpotvinderen og får systemet til at fungere. Vi vil beskrive det i næste afsnit.

Tilfældig talgenerator (RNG) til progressiv

En tilfældig talgenerator (RNG) er ethvert middel (fysisk eller elektronisk opsætning eller enhed eller software), hvormed tal i et givet sæt eller interval kan genereres tilfældigt i en sekvens. I denne sammenhæng betyder tilfældigt uafhængigt af de tidligere genererede tal (uden bestemmelse om bestemmelse) og ensartet fordelt over den opnåede sekvens. I gambling skal der sikres tilfældighed i de processer, der genererer resultaterne af spillene, for at spillene kan være retfærdige med hensyn til spillere og spillere for at have alle de samme chancer for at vinde. De software-baserede tilfældige tal generatorer (også kaldet pseudorandom generatorer, forkortet PRNG) bruges i nutidige casinospil, herunder i spilleautomater.

PRNG er en softwarealgoritme, der genererer en sekvens af tal, der i videst muligt omfang opfylder kravene om uafhængighed og ensartethed. Algoritmen fungerer ved at indtaste en startværdi, kaldet “frøet”, i algoritmen. Algoritmen genererer et tal gennem sine formler, hvor frøet kommer til at være værdien af en variabel. Derefter genereres de efterfølgende tal som en funktion af tidligere tal eller tal, i henhold til de involverede specifikke matematiske formler.

Der er forskellige slags RNG-algoritmer, der hver tjener et formål eller en applikation. RNG-algoritmerne kan bruge forskellige matematiske konstruktioner, der tilhører flere matematiske teorier. Der er disse matematiske konstruktioner, der sikrer de to krav om uafhængighed og ensartethed.

Funktionsskemaet for PRNG for casino spillene er meget simpelt: “Stoppene”, der bestemmer udfaldet af spillet (lommer på roulettehjulet, stop på slotshjulene og så videre) tildeles numre (i en-til- -en korrespondance), som derefter forbindes med maskinens kommandoer. Udgangen af PRNG er forbundet med det nummer med en bestemt kommando, der viser det respektive stop med dets resultat.

I progressive spilleautomater er der to typer RNG’er, der fungerer: den ene er RNG’en for spilleautomaten (eller for hver maskine, hvis man taler om et netværk af progressive); den anden er jackpotsystemets RNG.

På spillemaskiner med virtuelle hjul og nogle elektromekaniske spilleautomater fungerer PRNG som beskrevet generelt for alle casino spil. Den eneste forskel er, at tilfældigt udvalg er påkrævet for hvert hjul separat, da resultaterne på hjulene skal være uafhængige af hinanden. Derfor fungerer en PRNG for hvert hjul og udsender tilfældige tal fra 1 til antallet af stop på det hjul (normalt 22 for elektromekaniske spilleautomater eller 64, 128 eller 256 for virtuelle hjuls slots). Kombinationen af symboler, der vises på en betalingslinje efter spindet, er faktisk kombinationen af tal, som PRNG’en tilfældigt valgte (én pr. hjul).

I spilleautomater genererer PRNG tal i størrelsesordenen hundreder eller tusinder i sekundet, og kun én af dem bestemmer resultatet. Det betyder, at resultatet bestemmes, før maskinen viser det.

Den PRNG, der udløser den progressive jackpot og bestemmer dens vinder, er forskellig fra den PRNG, der arbejder for hvert hjul og fungerer uafhængigt af sidstnævnte. Mens sidstnævnte associerer de genererede tal med hjulenes stop, forbinder førstnævnte dets output med enten et tal, der skal vises på jackpotmåleren eller med andre variabler – såsom tidsintervaller, identifikatorer for maskinerne i netværket, egenskaber for tallene, der kendetegner visse afspilningsplader (inklusive målerniveauer) og så videre.

For jackpot-systemet, der skal rammes, fungerer PRNG generelt sådan: Den genererer et tilfældigt tal inden for hele jackpotbeløbets rækkevidde (minimal til maksimal værdi, som enten heltal eller decimaltal) eller inden for et valgt interval inkluderet i dette interval som udgivelsespunkt.

For det ubegrænsede jackpot-system kan PRNG generere tal forbundet med tidsintervaller, værdier af måleren, maskiner, indsatsbeløb osv. Systemets specifikke algoritme kombinerer disse output for at bestemme, hvornår jackpotten rammer; sådanne algoritmer varierer dog fra et system til et andet og er ikke kendte eller forudsigelige.

I enhver jurisdiktion er casinoerne forpligtet til at få deres RNG-software testet og revideret af en uafhængig ekspert tredjepart. De RNG’er, der består sådanne tests og evalueringer, er certificeret af spillemyndigheden som fair, hvilket betyder, at de er tilstrækkeligt tilfældige og korrekt implementeret i spillets software.

Chancer i progressive spilleautomater

Nu hvor vi så, hvad de progressive spilleautomater er, og hvordan det progressive jackpot-system fungerer generelt, kan vi tale om chancerne for at vinde en progressiv jackpot i online slots. Men vi skal være forsigtige med at bruge ordet ‘chancer’, da det kan have forskellige betydninger i forskellige sammenhænge. Når man taler om chancer i forbindelse med en begivenhed, kan man spørge ‘Er der nogen chance?’ eller ‘Hvad er chancerne?’ (for at den begivenhed kan ske). Det førstnævnte spørgsmål giver ‘chancer’ betydningen af ‘mulighed’ og er specifikt for en virkelighedskontekst. Sidstnævnte spørgsmål antager, at ‘chancer’ har betydningen af en sandsynlighed, og hvis en måling forventes som svar på spørgsmålet, bliver betydningen til ‘matematisk sandsynlighed’, og sandsynlighed kan kun forbindes med en matematisk kontekst.

At besvare et spørgsmål som ‘Hvad er sandsynligheden…?’ forudsætter et præcist svar og en passende matematisk beskrivelse af situationen, der genererer hændelsen, for at en sandsynlighedsberegning kan fungere. Dette er ikke tilfældet med progressive spilleautomater og er generelt ikke tilfældet med slots. Så længe vi ikke kender den parametriske konfiguration af designet af et spilleautomat, er ingen sandsynlighedsberegning for det spil mulig. Og så længe vi ikke kan gøre det for en spilleautomat, jo mere kan vi ikke gøre det for et progressivt jackpotsystem, som involverer en eller flere maskiner med hemmelig konfiguration og en skjult algoritme til at udløse jackpotten.

I betragtning af alle disse betingelser er det tilstrækkelige spørgsmål at starte med med hensyn til chancer ‘Hvad kan vi vide om chancerne for at vinde en progressiv jackpot?’. For at kunne give svar, skal vi først kende nogle grundlæggende begreber i statistik over spilleautomater.

Forventet værdi og husfordel

For hver casino indsats er der en statistisk indikator, der viser, hvor rentabel den slags indsats er for huset. Dette er husets fordel (HE – House Edge), som er et statistisk gennemsnit udtrykt som procentdelen af alle indsatser, der går som et overskud til huset på lang sigt. Husets fordel er det modsatte i fortegn af den forventede værdi af indsatsen (EV – Expected Value), som er et statistisk gennemsnit udtrykt som den fortjeneste eller det tab, som spilleren laver med denne indsats i forhold til deres indsats på lang sigt: HE = –EV.

HE-EV

Husets fordel kan forbindes med et spil, ikke kun med et væddemål. Casinospil som spillemaskiner, roulette og blackjack har deres fordel; for resten af casinospillene kan vi tale om husets fordel ved hver slags indsats.

Husets fordel er det vigtigste kriterium, der afgør, om et hasardspil er rentabelt for operatørerne og er værd at fungere, som en slags matematisk garanti. For at et sådant kriterium skal være opfyldt, skal husets fordel være positiv (og implicit skal den forventede værdi være negativ). Forventet værdi og husets fordel er ikke faste og varierer med versionerne af spillet og også med de strategier, som spillerne bruger. Der er situationer og omstændigheder, hvor EV for et væddemål kan have positive værdier, og sådanne situationer kan udnyttes af spillere; huset har dog ikke et problem med det, da det samlede overskud er sikret af en positiv huskant af det spil.

Det, der er vigtigt at fastholde, er, at både HE og EV er statistiske gennemsnit. Statistisk gennemsnit er ikke et aritmetisk gennemsnit eller middel, men en slags grænse eller et vægtet gennemsnit, hvor vægtene er sandsynligheder for alle mulige hændelser i forhold til udfaldet, forbundet med udbetalingsraterne for de forskellige udfald. Dette er grunden til, at enten HE eller EV ikke kan tolkes som gældende for bestemte tidsintervaller eller spil, men “over lang sigt”, hvilket i matematik ville betyde en uendelig leg.

For eksempel kan en forventet værdi på –2 % for et væddemål læses som “du forventes at miste 2 % af dine indsatser i det lange løb eller tabe 2 cents ved hver dollarindsats”, men det betyder ikke, at du vil opleve et sådant tab inden for de næste 10 eller 100 eller 1.000 afspilninger. Det er blot en statistisk indikator forbundet med den slags væddemål. Alligevel, jo flere væddemål af den slags du spiller, jo mere vil dit samlede tab nærme sig dette tal, selvom nogle gevinster kan forekomme i processen, og selvom dine kumulerede gevinster på et tidspunkt kan overstige dit kumulerede tab.

Utilstrækkelig forståelse af EV og HE som statistiske gennemsnit er årsagen til mange misforståelser og fejlslutninger blandt spillere.

Alligevel er EV et hovedkriterium ved udformningen af de såkaldte optimale strategier for spil, der tillader sådanne strategier. Spilleautomater er ikke et spil, der tillader optimale strategier, men i progressive spilleautomater er der situationer, hvor EV når positive værdier, som vi vil se i næste afsnit.

Inden da skal vi være fortrolige med de vigtigste statistiske begreber, der karakteriserer spilleautomater, nemlig RTP (return to player) og volatilitet.

RTP og volatilitet i online slots

Return to player (eller tilbagebetalingsprocent, forkortet RTP) er blot en måde at udtrykke husets fordel ved et spil, ikke i form af husets overskud, men af spillernes tilbagebetaling. Det er procentdelen af alle indsatser, der er placeret i det spil, der betales tilbage til spillerne som gevinster. RTP er faktisk forholdet gennemsnitlig gevinst / gennemsnitlig indsats (eller samlede gevinster / samlede indsatser, hvis du foretrækker det): RTP = W/B.

RTP = W/B

Det aritmetiske forhold mellem HE og RTP er: RTP = 1 – HE.

RTP = 1 – HE

Igen skal RTP tolkes som et statistisk gennemsnit, bare fordi HE er sådan et gennemsnit: RTP’en for en spilleautomat eller spil er procentdelen af alle indsatser, der betales tilbage som præmier til spillerne, der bruger denne maskine i det lange løb. Dette betyder ikke, at RTP’en gælder for indsatser fra én spiller eller over en bestemt tidsramme, men for den overordnede pengestrøm på den maskine, i en kumuleret forstand.

Spilleautomater har normalt en RTP på mellem 85% – 99%, men denne statistiske indikator er skjult for de fleste af maskinerne. Dette vender tilbage til en husfordel på mellem 1 % og 15 %. Afhængigt af producenten og den lokale jurisdiktion, kan du finde spilleautomater, der afslører disse oplysninger på deres hjælpe-/om-skærm. For spilleautomater, der har skjult RTP, kan denne information hentes gennem langtidsstatistisk observation og registrering.

Volatilitet er et udtryk, der afspejler det statistiske begreb om varians i spiloplevelsen. Varians måler afvigelsen af værdierne af den tilfældige variabel (dataene) fra dens middelværdi eller forventede værdi. Med hensyn til gambling giver variansen et mål for, hvor ofte spillet i gennemsnit frigiver præmier til sine spillere, samt for hvordan de vundne beløb fordeler sig over tid.

I gambling-jargon bruges udtrykket volatilitet som relateret til varians, især i spilleautomater. Volatilitet er varians over et bestemt tidsinterval eller antal afspilninger, og det udtrykkes normalt som et tal på en 1-til-5 eller 1-til-10 skala, eller mærket som lav, medium eller høj.

Volatilitet afspejler, hvordan tilbagebetalingen er fordelt over et givet antal afspilninger, det vil sige, hvor ofte og hvor store gevinsterne i gennemsnit er over det pågældende interval. I spilleautomater med lav volatilitet kan du forvente hyppigere gevinster, men i mindre beløb end i spilleautomater med høj volatilitet, hvor du kan vente noget tid, før du vinder. Som det er tilfældet med RTP for de fleste spilleautomater, er et spils volatilitet ikke informationseksponeret, men det kan estimeres ved hjælp af praktiske statistiske metoder.

Både RTP og volatilitet er kriterier for at vælge et spilleautomat eller et andet, og de tæller også med i analysen af de progressive.

Statistiske indikatorer for de progressive

Vi så, at for de enkelte spilleautomater mangler deres parametriske konfiguration og statistiske oplysninger, undtagen RTP i nogle tilfælde. Manglen på information vedrørende konfiguration forhindrer os i at beregne sandsynligheden for at ramme de vindende kombinationer i basispræmieplanen. Selvfølgelig hjælper udbetalingsoddsene, der vises i betalingsvinduet, ingen hjælp til at estimere sådanne sandsynligheder. Kun hvis vi kendte antallet af stop på hvert hjul og symbolvægtningen på hvert hjul (information indeholdt i spillets PAR-ark), ville en sådan sandsynlighedsberegning være mulig. RTP (hvis tilgængelig) er heller ikke tilstrækkelig til at finde disse sandsynligheder.

Ikke at kende sandsynligheden for at vinde den almindelige jackpot på en maskine eller ramme en anden vindende kombination forhindrer også enhver objektiv vurdering af chancerne for at vinde en progressiv jackpot, for de progressive systemer, hvor berettigelsesbetingelserne inkluderer at ramme den vindende kombination. De eneste situationer, hvor en sådan sandsynlighed ikke påvirker chancerne for at ramme den progressive jackpot, er i de systemer, hvor hver spiller er berettiget uanset deres gevinster (og som sådan ydes bidraget til jackpotfonden pr. indsats og ikke pr. gevinst).

Udover de almindelige statistiske indikatorer for en spilleautomat (sandsynligheder, RTP, volatilitet), hvis maskinen er en progressiv, er der nye indikatorer, der tilføjer det statistiske ark.

En parameter, der kendetegner en progressiv (og det system, den tilhører) er hastigheden af meterstigningen (r), der angiver procentdelen af indsatserne eller af præmierne, der går som bidrag til jackpotfonden. Parameter r er også ukendt, da kasinoerne ikke udstiller det. Fælles værdier for r er 1% og 2% af indsatserne, hvor sidstnævnte er hyppigere. Den nøjagtige hastighed r af en progressiv kan hentes gennem observation og sporing.

For progressive bidrag per bet skal du finde ud af, hvor meget det tager at flytte meteren 1 cent, enten ved at spille spillet selv eller ved at se en anden spille. Hvis w er den satsede kredit, og a er målerens fremgang, så er hastigheden for målerstigningen r = 100 x a/w (%).

r = 100 x a/w (%)

For eksempel, hvis din indsats på 50 cent flytter måleren med 1 cent, så er r = 100 x 1 / 50 (%) = 2%.

r = 100 x 1 / 50 (%) = 2%

Sådan en metode til hentning fungerer fint for en selvstændig progressiv, relativt fin for en lokal progressiv, men for et wide-area netværk progressiv kan den være genstand for fejl og unøjagtige tilnærmelser, da du ikke ved, om mere end én spiller har bidraget til målerens fremrykning på et tidspunkt.

Hvad angår de progressive, der vinder, kræver metoden en langt længere observationsperiode, og som sådan er den sværere at anvende.

RTP for en progressiv slot

En spilleautomats RTP er langt sværere at hente gennem statistisk observation og sporing. Det eneste alternativ – hvis oplysningerne ikke er givet på maskinens hjælp eller på udviklerens hjemmeside – er ved at se på rapporter fra spiljurisdiktioner, da disse optegnelser indeholder generel information om, hvilken tilbagebetaling du i gennemsnit kan forvente fra forskellige casinoer.

RTP på en ikke-progressiv spilleautomat er defineret som den gennemsnitlige gevinst/gennemsnitlige indsats, RTP = W/B.

RTP = W/B

Men ved en progressiv føjes den kumulerende jackpot til gevinsterne forbundet med basispræmieplanen. Vi ved ikke, hvornår jackpotten frigives som en gevinst, det kan ske i den nærmeste fremtid eller efter måneder; vi ved heller ikke, hvilket jackpotbeløb der vil blive frigivet. Alligevel er vi sikre på, at dette på et eller andet tidspunkt vil ske. Ved en progressiv er den faktiske RTP inklusive jackpot (betegn det med RTPp) højere end den almindelige RTP (beregnet ved kun at tage basispræmierne i betragtning). Faktisk, hvis W er den gennemsnitlige almindelige gevinst, J er det progressive jackpotbeløb, og B er den gennemsnitlige indsats, så:

RTPp = (W + J)/B = W/B + J/B = RTP + J/B > RTP

RTPp = (W + J)/B = W/B + J/B = RTP + J/B > RTP

Da jackpotten stiger med hvert væddemål, og det ikke vides, hvornår den vil nulstilles, kan vi retfærdigt konstatere, at RTPp er variabel og stiger med jackpotten. I modsætning til den almindelige RTP, som er konstant for en maskine, skal RTPp forstås som afhængig af måleren: den udtrykker den gennemsnitlige tilbagebetalingsprocent over det lange løb i estimeringsøjeblikket, under den antagelse, at jackpotbeløbet forbliver på sit nuværende værdi.

Det er værd at bemærke, at ovenstående formel for RTPp kun er illustrativ, for at se, hvordan den overstiger den almindelige RTP, men den faktiske RTPp under givne omstændigheder kan ikke beregnes præcist, selvom vi nu er den almindelige RTP.

Derfor stiger tilbagebetalingsprocenten fra den almindelige RTP opad med jackpotten. Men husk, at RTP er under 100%. Det betyder, at RTPp på et bestemt tidspunkt, for en bestemt værdi af måleren, kommer til at være 100 % og vil derefter gå ud over denne tærskel. Det er det øjeblik, hvor HE og EV bliver nul, og dermed bliver EV positiv efter dette øjeblik, indtil jackpotten nulstilles.

Det øjeblik, hvor HE er nul, kaldes break-even-punktet for det progressive system og er en vigtig statistisk indikator for den progressive, da det er den eneste, der genererer et strategisk spil for jackpotten.

En progressivs break-even point

Den første ting at bemærke er, at break-even-punktet for et ubegrænset progressivt system ikke kan bestemmes, selvom vi kendte den almindelige RTP, så længe vi mangler information om algoritmen til at udløse jackpotten. Dette står for enten en selvstændig maskine eller et netværk.

For de progressive systemer, der skal rammes, kan break-even-punktet blot estimeres groft, hvis vi kender RTP’en og hastigheden af meterstigningen r (antaget pr. indsats). Hvis vi antager, at algoritmen, der udløser jackpotten, tilfældigt vælger et beløb fra en ensartet fordeling af beløbene på målerområdet, giver følgende tommelfingerregel en tilnærmet værdi for beløbet på måleren svarende til break-even-punktet:

B = M x (1 – RTP + r) / (1 – RTP + 2r), hvor M er den maksimale værdi af jackpotten.

B = M x (1 – RTP + r) / (1 – RTP + 2r)

For eksempel ville et progressivt system med en RTP på 95%, 1% rate r og en maksimal værdi af jackpotten på $5.000 have break-even point et sted i nærheden af B = $5.000 x (1 – 0,94) / (1 – 0,93) = $4.285.

B = $5.000 x (1 – 0,94) / (1 – 0,93) = $4.285

Nedenfor er de afrundede afkast af ovenstående formel for forskellige værdier af M og af RTP, for to givne værdier af r: 1% og 2%:

Nulpunkt for r = 1 %

RTP/M0.900.910.920.930.940.950.960.970.980.99
1000916909900888875857833800750666
20001833181818001777175017141666160015001333
30002750272727002666262525712500240022502000
40003666363636003555350034283333320030002666
50004583454545004444437542854166400037503333
70006416636363006222612560005833560052504666
100009166909090008888875085718333800075006666
2000018333181811800017777175001714216666160001500013333
3000027500272722700026666262502571425000240002250020000
4000036666363633600035555350003428533333320003000026666
5000045833454544500044444437504285741666400003750033333

Nulpunkt for r = 2 %

RTP/M0.900.910.920.930.940.950.960.970.980.99
1000857846833818800777750714666600
20001714169216661636160015551500142813331200
30002571253825002454240023332250214220001800
40003428338433333272320031113000285726662400
50004285423041664090400038883750357133333000
70006000592358335727560054445250500046664200
100008571846183338181800077777500714266666000
2000017142169231666616363160001555515000142851333312000
3000025714253842500024545240002333322500214282000018000
4000034285338463333332727320003111130000285712666624000
5000042857423074166640909400003888837500357143333330000

Hvad er den strategiske betydning af break-even-punktet? I gambling er omstændigheder, hvor EV for et væddemål er positiv, meget sjældne og er forbundet med strategisk spil. En positiv forventning til et væddemål betyder, at hvis du placerer det væddemål under de samme omstændigheder i det lange løb, forventes du at vinde kumulativt mere, end du vil tabe med det væddemål, så teoretisk slår du huset, som man siger. Dette betyder ikke, at du nødvendigvis vil tjene penge i det næste spil, eller de næste 10 afspilninger, eller i løbet af den næste uge. Igen, den teoretiske profitrate udtrykt ved en positiv EV er blot et statistisk gennemsnit og kan kun blive til virkelighed efter et stort nok antal afspilninger under disse omstændigheder. I progressive spillemaskiner er disse omstændigheder, der bestemmer en positiv EV, øjeblikke efter, at måleren når break-even-punktet. Derfor, hvis du er i stand til at estimere break-even-punktet, er det matematisk optimalt som strategi at spille det samme spil gentagne gange først efter det punkt. Denne strategi for progressive kaldes fordelsspil.

Faktorer der påvirker chancerne for at vinde

Nu hvor vi så, hvordan det progressive virker, hvad er deres karakteristika og statistiske indikatorer, kan vi vende tilbage til vores spørgsmål vedrørende chancerne for at vinde en progressiv jackpot. Uanset hvilken betydning vi bruger begrebet ‘chancer’, er muligheden for at vinde og dens sandsynlighed påvirket af flere faktorer, der kendetegner de processer, hvorved det progressive system fungerer, og spillereglerne.

☝ For de fleste progressive er den vigtigste berettigelsesbetingelse, at spilleren får den almindelige jackpot eller en hvilken som helst anden præmie. Så for disse spil skal du være så heldig at ramme en præmie, før du håber på den store jackpot.

☝ Et spils volatilitet angiver, hvor ofte maskinen udbetaler sine præmier, inklusive topbasispræmien. Spillemaskine med høj volatilitet betaler deres toppræmier sjældnere end dem med lav eller medium volatilitet, og basisjackpotten er en berettigelsesbetingelse for de fleste progressive.

☝ Forudsat at dit spil opfyldte berettigelsesbetingelserne (påkrævet indsatsstørrelse og/eller præmiehit), er algoritmen til at udløse jackpotten (inklusive RNG) herskeren for at bestemme den heldige vinder blandt alle berettigede spillere. Så længe denne algoritme ikke er kendt, vil vi aldrig vide, hvordan et bestemt spil påvirker sandsynligheden for at vinde. For eksempel kan det være bedre at spille inden for en bestemt tidsramme på dagen, eller inden for et bestemt område af meteren, eller senere efter en sejr, og så videre. Men forudsat at algoritmen er ukendt, tildeles alle former for spil de samme chancer for at vinde jackpotten. Derfor har følgende myter ingen matematisk objektivitet med hensyn til sandsynligheden for at vinde:

  • undgå en maskine, der har betalt enten en almindelig eller progressiv jackpot for nylig;
  • venter på, at måleren når meget høje værdier (for ubegrænset progressive);
  • øge indsatsstørrelsen, når dette ikke er et krav for berettigelse;
  • at spille med fordel for et begrænset antal spins (for progressive, der skal rammes).

☝ Målerens niveau kan indikere, at chancerne for at vinde den progressive jackpot er højere end på et lavere niveau kun for de progressive, der skal rammes. Attributterne for målerens niveau kan også være involveret i algoritmen til at udløse jackpotten, men vi kan ikke vide, om det er tilfældet, eller hvordan de er involveret.

☝ Antallet af spillere, der i øjeblikket er involveret i netværket, er en faktor, der direkte påvirker værdien af måleren (jo flere spillere, jo hurtigere stiger niveauet) og chancerne for, at man vil ramme den almindelige jackpot eller anden præmie (jo flere spillere, jo større er sandsynligheden for, at man vinder). Både niveauet af måleren og at ramme en basispræmie er relateret til frigivelsen af den progressive jackpot via den udløsende algoritme. Antallet af spillere-faktoren står også for de progressive per-bet.

Alle disse faktorer påvirker chancerne for at vinde som mulighed; de er mere deterministiske faktorer, der gør, at begivenheden finder sted, snarere end stokastisk information, der er nødvendig for at estimere sandsynligheden for at vinde. For fordelsspillet (i tilfælde af must-hit-by progressive) kan vi sige, at chancerne er højere end for et tilfældigt (ikke-strategisk) spil, hvor ‘chancer’ har den kvantitative betydning af forventning og ikke sandsynlighed.

Den højeste progressive jackpot vinder

Uanset sandsynligheden for at vinde en progressiv jackpot, forekommer jackpot-hits hyppigt, hvilket giver de andre spilleres håb og får dem til at jagte en stor gevinst. Det er ligesom i lotteri – vi ser jackpotten ændre andre menneskers liv, og vi vil gerne være i deres sted. De høje værdier af jackpotten er hovedelementet, der bidrager til populariteten af det progressive spilleautomatsystem, da der er de højest mulige præmier i kasinospil. I de progressives historie står følgende jackpotgevinster i toppen:

  • 1) $39,7 millioner var den største slot jackpot nogensinde, vundet på Excalibur Casino i Las Vegas. Hittet var i 2003 på en Megabucks spillemaskine.
  • 2) $35 millioner var den næststørste slot jackpot, vundet på Desert Inn, Las Vegas, i 2000, igen på en Megabucks spillemaskine.
  • 3) $27,6 millioner som tredjepladsen blev tilbudt af det samme Megabucks-mærke, på Palace Station Casino, i Las Vegas, i 1998.
  • 4) €17,8 millioner jackpot blev vundet online på hjemmesiden PAF.com i 2013 af en spiller, der drejede hjulene på Mega Fortune.
  • 5) Jackpot på $22,6 millioner blev vundet i 2002 på Bally’s i Las Vegas på en Megabucks spillemaskine.
  • 6) $21,3 millioner blev vundet i det berømte casino Caesars Palace i Las Vegas, i 1999, igen på en Megabucks spillemaskine.
  • 7) De 21,1 millioner dollars, der blev vundet i 2005 på Cannery Casino & Hotel i Las Vegas, runder toppen, men der har været mange andre gevinster i Progressives historie i millionklassen.

Hver post i denne top har selvfølgelig sin egen historie og saftige detaljer, som jeg er sikker på ville være værd at fortælle. Den eneste sidedetalje, der er relevant for vores analyse af progressive og chancerne for at vinde jackpotten, er, at næsten alle vindere i denne top opnåede deres gevinst til minimale omkostninger – deres kumulerede indsatser i den heldige session varierede mellem 25 cents og et par hundrede dollars.

Med så lave investeringer kan vi med rimelighed antage, at de ikke har brugt noget strategisk spil forbundet med deres gevinster, og heller ikke øget deres chancer med høje bankrolls. En overraskende detalje viser sig endnu i tilfældet med vinderen på syvendepladsen, som har vundet 4,6 millioner seksten år tidligere et andet sted; dog rammer heldet nogle gange på de mest nysgerrige måder, og denne begivenhed underminerer ikke nødvendigvis den tidligere antagelse med hensyn til strategi.

Kan chancerne for at vinde jackpotten øges?

Med dette spørgsmål er hovedbetydningen af ‘chancer’, der dukker op i tankerne, sandsynligheden. Før vi taler om at øge sandsynligheden for at vinde, lad os se, hvad vi kan vide om værdien af denne sandsynlighed.

Leger med sandsynlighedstal og ordrer

Et udbredt tal er 1 ud af 50 millioner i gennemsnit, i rækkefølgen af sandsynligheden for at vinde i lotteriet for mange af de statslige lotterier (f.eks. er sandsynligheden for at vinde topgevinsten i et 6/49-lotteri ca. 1 ud af 14 millioner). Jeg aner ikke, på hvilken baggrund og hypoteser et sådant skøn ville være foretaget, men jeg kan heller ikke se dets relevans. For det, vi taler om her, er at forbedre disse odds, og spørgsmålet opstår, om det ville gøre nogen forskel, hvis sandsynligheden øges (hvis muligt) fra 1 ud af 50 millioner til 1 ud af 40 millioner eller 1 til 1 million eller endda til 1 til 100.000?

Med hensyn til selve figuren, er alt, hvad vi med sikkerhed ved, at sandsynligheden for per-win progressive er langt lavere end sandsynligheden for at ramme den nødvendige basispræmie. For at ramme den progressive jackpot er der faktisk to uafhængige begivenheder, der begge skal ske: Den ene er for spilleren at ramme basispræmien, og den anden er for den udløsende algoritme til at vælge den gevinst til jackpotfrigivelsen. En af de grundlæggende egenskaber ved sandsynlighed er, at sandsynligheden for en konjunktion af uafhængige begivenheder er produktet af sandsynligheden for hver begivenhed:

P(Jp) = P(Jb) x P(R), hvor P(Jp) er sandsynligheden for, at spilleren rammer den progressive jackpot, P(Jb) er sandsynligheden for, at de rammer basisjackpotten, og P( R) er sandsynligheden for, at algoritmen frigiver jackpotten for den gevinst.

Vi ved alle, at sandsynlighed er et underenhedstal, og hvis vi laver produktet af to sådanne tal, vil produktet være meget lavere end hver af de to faktorer. P(Jb) kan ikke beregnes for spil, hvis parametriske konfiguration er skjult. Bare som en øvelse, tag et imaginært 3-hjuls spillemaskine spil med 32 stop på hvert hjul og et top-award symbol på hvert hjul. Sandsynligheden for, at det samme toppræmiesymbol vises på betalingslinjen ved et spin er (1/32) x (1/32) x (1/32) = 1/32.768 eller 1 ud af 32.768, som P(Jb) .

(1/32) x (1/32) x (1/32) = 1/32.768 eller 1 ud af 32.768, som P(Jb)

Nu ved vi, at P(Jp) ville være meget lavere end dette tal, men vi kan ikke lave et realistisk estimat, da vi intet ved om den udløsende algoritme for at estimere P(R). Nogle base jackpot vindende kombinationer kan have en højere sandsynlighed, men det er rimeligt at antage, at det ikke er i en rækkefølge, der er lavere end 1 ud af tusinder; andre har en lavere sandsynlighed.

En mere præcis beregning er i det næste eksempel. Antag det samme 3-hjuls spil i et must-hit-by progressivt system med metergrænserne $1.001 – $4.000. Antag, at algoritmen tilfældigt vælger et meterniveau til frigivelse over den ensartede fordeling af heltal inden for meterområdet. Vi har 3.000 sådanne tal, så P(R) = 1/3.000. Derefter er P(Jp) = (1/32.768) x (1/3.000) = 1/98.304.000.

P(Jp) = (1/32.768) x (1/3.000) = 1/98.304.000

Selvfølgelig gælder alle de ovenfor diskuterede sandsynligheder for et enkelt spin. Den overordnede sandsynlighed for, at spilleren rammer jackpotten i flere spin, stiger proportionalt med antallet af spins, men på bekostning af at sænke bankrollen, som kan være opbrugt på et tidspunkt.

Sandsynlighedsstigning/mindskelse og optimalt spil

Så længe vi ikke kan kende algoritmen til at udløse jackpotten, kan den teoretiske sandsynlighed for at vinde den kun øges med flere spins. For det ubegrænsede progressive system, når spillet først er valgt, er det simpelthen ligegyldigt hvornår, hvordan eller for hvilken præmie, men bare hvor længe. Jo flere spins du laver, jo højere er din sandsynlighed for at vinde, men husk altid hvor lavt dette er, som i lotteri. Faktisk gælder dette princip også i lotteri – du kan kun øge din sandsynlighed for at vinde ved at købe flere lodder, hvilket øger din investering. Det samme sker i progressive spillemaskiner – din bankroll har en tendens til at blive udtømt med det lange spil, så det bliver en afgørende faktor i din jackpotbestræbelse.

Systemer, der kræver en bestemt indsatsstørrelse for at være berettiget, gør, at bankroll-udmattelsen bliver mere accelereret.

Meterniveauet er ikke en faktor, der påvirker sandsynligheden for at vinde i ubegrænsede progressive. Men jo højere meter niveau, jo flere spillere tiltrækkes til at deltage, niveauet stiger, men sandsynligheden for at vinde falder. Det er klart, at de mest populære spil i wide-area-netværk vil tilbyde de laveste gevinstsandsynligheder.

Tingene er lidt anderledes i must-hit-by progressive. Hvis man taler om chancer for at vinde som sandsynlighed, er de samme chancer for et hvilket som helst niveau af måleren (forudsat en ensartet fordeling af det tilfældige udvalg). Hvis vi taler om chancer som forventning, så vi, at efter break-even-punktet bliver EV’en positiv, og dette indebærer et optimalt spil (fordelspillet). Den direkte anbefaling er så først at spille sådanne progressive efter måleren passerer break-even-punktet (forudsat at bestemmelsen af dette punkt er mulig). Dette fordelsspil skal dog forstås korrekt: Ved at gøre det øger du ikke din sandsynlighed for at vinde i et spin, og heller ikke over hele spillesessionen. Du er bare garanteret et positivt overskud, når du vil ramme jackpotten i det lange løb. For at have de højest mulige chancer for, at det sker, bør du altid spille på denne måde, hver gang du kommer tilbage til det spil efter en tabssession. Det er ligesom i blackjack, at når man spiller optimalt, betyder det ikke, at du slår dealeren i et bestemt spil (selvom strategien måske også øger vinderoddsene), men at du vil have et positivt overskud i det lange løb ved at gentage strategien.

Igen, gentaget spil afhænger af din bankroll. Selvom en positiv forventning garanterer et overskud i det lange løb, kan din bankroll muligvis ikke holde det lange spil. Det er ligesom i roulette martingale, hvor matematik siger, at du helt sikkert kan vinde, men begrænsede midler og kasinobegrænsninger i dette tilfælde (og selvfølgelig uheldige streaks) forhindrer det i at ske. At jagte en spillemaskiner jackpot er et risikabelt valg og kan føre til alvorlig økonomisk skade.

Tips og anbefalinger

I betragtning af alt det, der er blevet sagt med hensyn til chancer i progressive spilleautomater, udtrykker følgende råd ikke en optimal strategi (undtagen break-even point-reglen), og det er heller ikke garanteret at forbedre dine vindende odds for bestemte systemer og under specifikke omstændigheder. Det er snarere et råd til at sikre berettigelse og forblive i spillet sikkert, hvis du sigter mod at vinde den progressive jackpot.

  • Bliv informeret om det spil, du vil spille. Dette inkluderer at læse hjælpeskærmen, før du spiller, for at se, hvad der kræves for at vinde en jackpot. Du kan også søge efter oplysninger uden for maskinen, såsom en statistisk registrering af udgivne præmier, RTP og volatilitet.
  • Spil minimumsindsatser, hvis de kvalificerer sig til jackpotten, for at holde din bankroll varig så meget som muligt.
  • Spil ikke minimumsindsatser, hvis de ikke kvalificerer sig til jackpotten.
  • Hold dig til det progressive, du har valgt, og brug ikke dine penge på andre spil.
  • Fokuser ikke bare på måleren og glem alt om den maskine, du spiller på. Tjek udbetalingsoddsene for den påkrævede basispræmie, og vælg spil med lavere udbetalingsodds, da disse er forbundet med en højere sandsynlighed for at ramme den pågældende basispræmie.
  • Vælg maskiner med høj RTP og høj volatilitet, hvis det er muligt, til progressive systemer, hvor det er påkrævet at ramme basisjackpotten, og med lav til medium volatilitet, hvis der kræves andre mindre basispræmier (hvis disse oplysninger er tilgængelige eller kan hentes).
  • Ignorer myterne om progressive, såsom at undgå en maskine, der lige har udgivet en præmie.
  • Estimer break-even-punktet for de progressive, der skal rammes, hvor det er muligt, og spil først efter break-even-punktet er passeret på måleren.
  • Vælg et lille netværk af progressive for at reducere dine konkurrenter.
  • Spil i lokale netværk, når der er et minimum antal spillere involveret.
  • Vælg progressive jackpots, der viser en rekord for udbetalinger.
  • Indstil grænserne for din bankroll for hver session og i en længere periode forude (uge eller måned), og giv den ikke ekstra midler, hvis den er opbrugt.

Konklusion

Vi kan tale om ‘chancerne’ for at vinde en progressiv jackpot i spillemaskiner med to betydninger: sandsynligheden for at vinde jackpotten på et bestemt tidspunkt eller over et interval af spil, og den forventede værdi af et langsigtet spil. Manglen på information vedrørende den parametriske konfiguration af spilleautomaterne forhindrer enhver præcis sandsynlighedsberegning med hensyn til sandsynligheden for at vinde basisjackpotten og andre præmier; sandsynligheden for at vinde den progressive jackpot kan derfor ikke estimeres, jo mere som algoritmen til at udløse jackpotten ikke er kendt så godt. RTP’en og andre statistiske oplysninger – hvis de er tilgængelige – er ikke tilstrækkelige til sådanne beregninger.

Forøgelse af sandsynligheden for at vinde kan kun ske ved at spille flere spins og vælge netværk med færre maskiner og spillere, men ingen kan sige, hvad sandsynlighedsgevinsten ville være, og om det faktisk er besværet værd.

Det eneste tilgængelige strategiske spil er for progressive, der skal rammes, forudsat at man kan bestemme målerens break-even punkt ved at indtaste RTP, hastigheden af målerens stigning og jackpot øvre grænse. Den optimale strategi er kun at spille sådanne progressive, efter at meterniveauet overstiger break-even-punktet, men denne strategi medfører ikke nogen forøgelse af sandsynligheden for at vinde, men garanterer blot en positiv profitforventning på lang sigt.

Bankroll management og en ansvarlig holdning er nødvendig for at jagte den progressive jackpot, som i sig selv er et risikabelt valg for spillere, da det kan føre til økonomisk skade, problemer med spil og udvikling af ludomani.

Referencemateriale der blev brugt til at skrive artiklen

Bărboianu, C. (2022). Understanding your game: A mathematician’s advice to rational and safe gambling. Târgu Jiu: PhilScience Press.

Bărboianu, C. (2014). Is the secrecy of the parametric configuration of slot machines rationally justified? The exposure of the mathematical facts of games of chance as an ethical obligation. Journal of Gambling Issues, Vol. 29, 1-23.

Bărboianu, C. (2013). The mathematics of slots: Configurations, combinations, probabilities. Craiova: Infarom.

Harrigan, K. A. (2007). Slot machine structural characteristics: Distorted player views of payback percentages. Journal of Gambling Issues, Vol. 20, 215-234.

Revie, M., & Quigley, J. (2014). Risk assessment of progressive casino games. Journal of Gambling Business & Economics, 8(1).

Turner, N. E., & Horbay, R. (2004). How do slot machines and other electronic gambling machines really work? Journal of Gambling Issues, Vol. 11.

Seneste artikler

Er online spilleautomater manipulerede?
Hans Christiansen
Hans Christiansen
Mar 29, 2024
Alle online spilleautomater er rigget - fakta eller fiktion?
Største hasardspil gevinster
Hans Christiansen
Hans Christiansen
Feb 27, 2024
Største hasardspil gevinster - casino gevinster, der skabte historie
Snyd i online poker
Greta Lindström
Greta Lindström
Feb 27, 2024
Snyd i online poker - myter og virkelighed
Søgeresultat: 0